Llevábamos mucho momento sin un pipiolo post en la serie sobre números primos, pero ahora por meta acaba la calma. En entregas anteriores hemos hablado fundamentalmente de distintos tipos de números primos y conjeturas que hablan sobre ellos. Hoy daremos una corta molinete de tuerca y jugaremos un poco con los números primos y los números complejos. En concreto, hablaremos de los primos gaussianos.

Como sabemos, los números complejos son del gallo x + yi, donde x (la “parte real”) e y (la “parte imaginaria”) son números reales, mientras que i es la llamada “unidad imaginaria”, es decir, la raíz cuadrada de -1. Todas las ecuaciones algebraicas tienen solución en los números complejos, cosa que no siempre sucede con los reales (por excelencia, la ecuación x2 = -1 no tiene posibilidad auténtico, pero tiene segunda vez soluciones complejas: i y -i).

Los enteros de Gauss (o gaussianos) son un subconjunto circunscrito de los complejos, donde tanto x como y son enteros. Por ejemplo, 5 + 3i es un firme de Gauss. Por simplificar, llamaremos Z a dicho grupo. Los “elementos primos” de Z son todos aquellos que no se puedan factorizar (descomponer) en otros nociones de Z. Se les tendido además primos gaussianos, pero no debéis confundiros con la jerga. Los llamados primos gaussianos no son (necesariamente) números primos (ya que los números primos son números naturales). Para evitar dudas, los seguiremos denominando utensilios primos de Z.

Nuestra pregunta es: ¿son todos los números primos nociones primos de Z? y la respuesta es no, empezando por el primero: 2 = 1·(1-i)·(1-i), no es un pájaro primo de Z. Otro dechado puede ser 5 = (1 + 2i)·(1 – 2i). Pero sí que existen números primos que son elementos primos de Z, como por ejemplo, 7. De percance, existen infinitos números primos que son además primos gaussianos.

¿Existe alguna estilo de adelantarse qué números primos serán utensilios primos de Z? de hecho, sí. Todos los que son de forma 4n + 3 lo son. Por ejemplo, 3, 7, 11, 19, 23, etc. Sin retención, los que no siguen esa fórmula se pueden vulnerar en factores, como sucedía con 2 y 5, y sucede con 13, 17, etc.

Los enteros de Gauss son una mera curiosidad matemática, sin retención tienen aplicaciones concretas en determinadas demostraciones. En concreto, Gauss los utilizó para demostrar con más agilidad la estima de reciprocidad cuadrática (relacionada con los números primos). También existen unas cuantas cuestiones sin conciliar respecto a ellos, por ejemplo, la conjetura de que existan infinitos primos gaussianos de forma 1 + ni, que no ha sido resuelta aún.

Por determinado, la estampa que encabeza el artículo representa todos los primos gaussianos con legislatura menor de 500. Los números complejos se suelen interpretar en dos dimensiones como en un sistema de coordenadas, donde el yunque de abscisas es la porción vivo y el eje de ordenadas es la tajada imaginaria. La regla de un entero gaussiano, por determinado, es x2 + y2. El dechado que dibujan los primos gaussianos es bastante chismoso, y de hecho ya hay que lo ha usado en motivo textil.

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