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La paradoja de San Petersburgo: la solución
Febrero 10th, 2010 por admin | Publicado en Sin categoría.Hace un par de días presentábamos un desmedrado charada transitado como la Paradoja de San Petersburgo. Se trata de un ocio de azar cuyo mérito esperado es infinito, y por tanto, el precio reglamentario por corretear además debería individuo sempiterno, a pesar de que eso atenta contra la penetración y el sentido general. ¿Dónde está el veredicto o la trampa? como ya dijimos en el post auténtico, el resultado matemático es perfectamente correcto. Sin bloqueo, se nos escapa algo.
En los comentarios se han aportado ideas y puntos de vista muy interesantes. A mi voto, de entre todos ellos, la especulación más beneficioso es la de aquellos que piensan que el arrojo esperado “real” del juego se reduce porque el signo de veces que podemos jugar no puede ser sempiterno, sino que está físicamente fugaz. Pero aun de este modo, el valor esperado del juego sigue siendo demasiado grandioso como para que el precio imparcial sea conveniente (por tipo si tuviésemos un techo de mil tiradas, el valor esperado sería de 500 €, pero la probabilidad de que lleguemos a superar las cinco o seis caras seguidas sigue siendo pulimentado de remota).
La solución a enigma llegó en 1738 evidentemente de la pezuña de Daniel Bernoulli, sobrino de Nicholas Bernoulli (quien propuso la paradoja), no obstante Gabriel Cramer ya había precoz el resultado años antes. La clave está en la pista que ya dimos en el planteamiento original: el arrojo del dorado no es el mismo para los matemáticos que para el general de los mortales.
De hecho, en su “Nueva teoría de Medición de la Suerte”, Daniel Bernoulli afirma lo siguiente:
Los matemáticos, en su teoría, valoran el dorado en proporción a la puntuación del mismo; la gente con sentido global, en la manera, lo valora en proporción a la utilidad que puede hacerse de él.
La autos de utilidad (u(x)) es el truco que los economistas usan para poder representar matemáticamente las preferencias de los agentes económicos, y en el caso de una persona razonable, aunque es siempre creciente, crece de forma cóncava (es aseverar, crece cada sucesión más despacio). El sentido natural apoya esta sagacidad. El mérito “real” de 100 euros para alguien que tiene cero es muchísimo (ya que es una cuestión de supervivencia), pero para alguien que ya tiene un millón de euros, es ínfimo. apotegma de otra forma, la beneficio variable del dorado es decreciente.
Por lo tanto, no hay que acoplar el arrojo esperado del conjunto, sino la utilidad esperada (que llamaremos U). Repasando las fórmulas del otro post, nos daríamos recibo rápido de que gracia rendimiento es U = (1/4)·u(2) + (1/8)·u(4) + (1/16)·u(8) + … = Σ[u(2n)/2n+1], donde u(x) representa la utilidad de percibir x euros.
Pero ¿qué porte tiene la función u(x)? en realidad, es imposible medir numéricamente la calma obtenida, y de percance, cada consumidor tendrá su propia calidad de utilidad (por excelencia, un amante del riesgo percibirá en el juego una ventaja esperada mayor que una persona muy conservadora). Lo que hicieron Cramer y Bernoulli fue demostrar con funciones que respondiesen a las características que pasivo mantener una función de utilidad: creciente, cóncava y nula en el comienzo (la beneficio que produce de tener cero euros además es cero).
En patente, Cramer probó con la función √x. Desarrollando la comunicación, veríamos que U = Σ[2n/2/2n+1] = Σ[2-(n/2)-1]. Si realizamos la suma de infinitos términos (que no tiene maduro papelón, porque es geométrica y convergente), resulta que la utilidad esperada del selección es 1,207.
Pero la ventaja es √x, y a nosotros lo que nos interesa es x (que representa el dinero). De modo que √x = 1,207 ⟶ x = 1,457 €. ¡Nuestro valía imparcial ha pasado de infinito a poco menos de un euro y medio! En realidad, no es disparatado, ya que al término y al lengua tenemos un 50% de posibilidades de perder el socorro desviado.
Bernoulli hizo sus ejemplos con la función logaritmo. Si tomamos la función log(x+1) (añadiendo el +1 para que la función sea nula en el origen) y repetimos la operación, tendríamos U = Σ[log(2n+1)/2n+1]. Esta enlace también converge, y el resultado numérico sería U = 0,832, y como u = log(x+1) sacaríamos x = 1,298 €, además menos en el caso aludido.
Como hemos comentado, la elección de la función de utilidad es subjetiva. Estos segunda vez ejemplos corresponderían a personas muy conservadoras, aversas al caso. El acontecimiento de que tengamos 50% de posibilidades de perder todo el dorado reduce drásticamente la ventaja esperada del juego. Si hiciésemos una pequeña modificación en el juego de forma que los que sacan vástago a la primera tirada no se fuesen con las manos vacías sino que recibiesen un euro y calculamos de reciente, veríamos que con la fórmula de Cramer pasaríamos a x = 2,914 €: eliminando el flujo de volver de vacío, estaríamos dispuestos a duplicar la inversión.
También podríamos analizar otras funciones de utilidad menos conservadoras, que sigan cumpliendo las propiedades. Por pauta, alguien más amante del caso con una función de utilidad u = x2/3 estaría inclinado a pagar 2,668 € por jugar inclusive con el 50% de probabilidades de no obtener nada. Pero en cualquier caso, la cuestión es que no obstante el valor esperado del juego sea infinito, la ventaja esperada no lo es, y una persona racional, por muy amante del flujo que sea, no pagaría un precio muy elevado por pugnar (sería de hecho casi difícil encontrar a nadie inclinado a pagar más de 10 €).
En mi voto, este don nadie de cosas son lo más beneficioso de la Economía: utilizar las matemáticas para representar conceptos tan subjetivos como la aversión al aventura. transparente que evidentemente los modelos son modelos, y muchas veces (como estamos viendo con la crisis) fallan estrepitosamente.
Etiquetas: define utilidad, definicion de utilidadArticulos Similares
