¿Se puede medir el infinito? (II)

En la anterior entrega hablamos de los estudios de Cantor sobre el infinito. Según su teoría, si un grupo se puede poner en correspondencia uno a uno con los números naturales (enteros positivos), tiene los mismos nociones que el conjunto de los naturales.

Hasta junto nada foráneo, de no individuo porque Cantor demostró con osadía que, al detractor de lo que dice la intuición, esto implica que los números enteros (que incluyen por otra parte los negativos) y los racionales (que incluyen las fracciones) son exactamente tantos como los naturales. A esta abarcamiento (infinita) se le bautizó como ℵ0. Teniendo en tabla que puede haber infinitos “más grandes” que otros, en realidad, ¿qué sentido tiene proclamar que son infinitos? Por esta inestable, se acuñó el colmo de números transfinitos.

La cardinalidad del continuo

Aunque los conjuntos de los números racionales y de los números reales son infinitos, hay más números reales que números racionales (es proclamar, la cardinalidad de los reales es mayor que la de los racionales). Los números reales corresponden a todos los números con decimales, incluyendo a aquellos que no proceden de una pizca (y por tanto tienen infinitos decimales en una sucesión no periódica), como pueda individuo el vigilante π, sin ajustar más lejos. A conjunto de los números reales se le tendido, en este contexto, ‘el fijo‘.

Por reducción al desatino, se puede demostrar que para cualquier enumeración de los números reales, podríamos construir otro cantidad auténtico no recogido dentro de ella. Por lo tanto, la cantidad de números reales es infinitamente superior a la de números racionales: Pero, ¿cuánto? Es más casquivana de lo que parece. Si contamos los decimales, un signo definitivo tiene infinitos dígitos, que no son más que números naturales. Por excelencia, 5 = 5.00000…, 10/3 = 3.33333…, π = 3.141592…

Es decir, que cada puntuación real tiene ℵ0 dígitos. El signo de capital permutaciones de dígitos (y por tanto, el número de posibles números reales) es Nℵ0, donde N es la peana utilizada. Como el resultado es independiente de la base, si tomamos la más corta hacedero, que es la binaria, llegamos a la conclusión de que la cardinalidad del ininterrumpido es c = 2ℵ0.

además, c es la cardinalidad del conjunto seguridad de los números naturales, es decir, del selección formado por todos los posibles subconjuntos de los números naturales. Otros conjuntos importantes con cardinalidad c son el de los números complejos o el de los espacios vectoriales euclídeos de n dimensiones.

Las propiedades de c

El signo c tiene también curiosas propiedades. Por ejemplo, es muy casquivana de ver que cn = c, donde n es cualquier puntuación finito, ya que cn = 2ℵ0·n = 2ℵ0 = c. (Esto justifica que los números complejos o los espacios de n dimesiones tengan cardinalidad c). Se puede razonar, de una forma similar, que cℵ0 = c.

Sin embargo, ¿cuánto de acuerdo cc? En este percance, tenemos cc = 2ℵ0·c = 2c. El número 2c es la cardinalidad del universalismo seguridad de los números reales, y del conjunto de todas las funciones reales.

Continuaremos en el venidero post hablando de los números aleph (como ℵ0), los números beth y la hipótesis del graduado.

Imagen | m. a. r. c.
En Genciencia | ¿Se puede medir el sempiterno? (I)

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