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¿Se puede medir el infinito? (I)
Enero 3rd, 2010 por admin | Publicado en Sin categoría.
En el actual post sobre el Teorema de los Infinitos Monos se vio una demostración actos de que sempiterno no es una cantidad muy grande, suerte que infinito es infinito, y por ello muchas veces no podemos tratarlo como una cantidad ‘normal’. Por eso mismo, tiene propiedades muy interesantes, y que a veces desafían nuestros razonamientos lógicos.
Por tipo, no obstante sempiterno sea mayor que cualquier hormiguero “real” imaginable, resulta que hay infinitos más grandes que otros. Y sin retención, esa no es la propiedad más insólito de los infinitos. Desde la decadencia clásica, se asume que la tajada no puede ser tan robusto como el todo como un credo filosófico. Pues la teoría de los infinitos demuestra que no.
El responsable de estas chocantes conclusiones es el matemático alemán (aunque nacido en Rusia) Georg Cantor. Los resultados que obtuvo atentaban de tal estilo a las convenciones que fue tachado de loco por sus coetáneos. No nada más eso, suerte que a más comenzó a sufrir crisis nerviosas y episodios de demencia cada momento que se daba tabla de que su razón rechazaba sus propios descubrimientos. Tanto es así que falleció en la pobreza en un psiquiátrico.
Infinitos enumerables
Pero entremos más a fondo en las teorías de Cantor. Empecemos analizando la conexión entre los números naturales (0,1,2,3,…) y los enteros (que incluyen también los negativos). Pues bien, según la teoría de Cantor, si podemos conciliar una lista “uno a uno” entre dos conjuntos, se deduce que ambos conjuntos tienen la misma abarcamiento de elementos (conclusión dialéctica, por otra parte). En el percance de los naturales y los enteros, es muy fácil: A los números naturales de forma 2·k les asignamos los enteros de forma -k, y a los naturales 2·k + 1, los enteros k.
Pues de esta modo podemos instituir una correlación uno a uno entre naturales y enteros. En las siguientes parejas, el primer punto es el directo, y el periquete, su firme asociado: (0,0), (1,1), (2,-1), (3,2), (4,-2), (5,3), etc. Se ve ¡como no! que de este modo asociaríamos todos los enteros a los naturales. Por tanto, hay tantos naturales como enteros, a aflicción de que intuitivamente pensaríamos que hay el doble de enteros que de naturales. A esta cantidad infina, Cantor la llamó ℵ0 (aleph sub nadie).
Más desconcertante resulta asimilar que la puntuación de números racionales (es proclamar, todas las fracciones) también es ℵ0. aquí, el órdago a la penetración es brutal. ¡Si nada más entre 0 y 1 ya hay infinitos racionales! ¿Cómo es posible que el número entero de racionales sea idéntico que el de naturales? El testimonio es más complejo (es más fácil de ver en un manifiesto, como ya se publicó aquí en Genciencia), pero es igualmente vivo En referencia a este hecho, Cantor escribió a otro simétrico “lo veo, pero no lo creo“.
Estos resultados a priori tan extraños tienen cierto sentido si tenemos en recibo que el sempiterno cumple que ∞+1 = ∞, y por tanto, ∞+1 = (∞+1)+1 = (∞+1+1)+1, y así, ad infinitum (nunca mejor dicho). Esto se ve ¡como no! en la famosa paradoja del hotel de Hilbert. Sin retención, es cierto que existen infinitos más grandes que otros. En este caso, el símbolo ∞ pierde su significado, necesitamos una puntuación que indique las diferencias entre distintos infinitos (de allá el rendimiento del puntuación ℵ).
A los conjuntos que tienen ℵ0 nociones (es decir, cuya cardinalidad es ℵ0) se les denomina enumerables. En la próxima concesión veremos que hay conjuntos cuyos utensilios no nada más son infinitos, sino que por otra parte no se pueden pugnar en devolución con los números naturales. Hay infinitos que son más grandes que otros, pero no nada más eso, sino que son infinitamente más grandes.
metáfora | m. a. r. c.
En Genciencia | Quiz Genciencia: infinitos
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